VOCÊ NÃO ENCONTRA ESSES DESAFIOS EM LIVROS
ENCERRADO
( FISMÁTICA DESAFIOS ) Um número par não divisível por 4 tal que, decompondo em fatores primos, a soma dos fatores primos distintos é igual a 10, e que a contagem de todos os fatores entre si, formam uma PA finita de razão igual ao dobro do 1° termo dessa PA. Qual é esse número ? e quantos divisores ele possui ?
RESOLUÇÃO:
Como o número é par não divisível por 4, então teremos a certeza que na decomposição de fatores primos, teremos apenas um fator 2. Outro sim, se a soma desses fatores é igual a 10, fica claro que os números que satisfazem são 2+3+5=10.
Na contagem dos fatores primos entre si a certeza que temos é que temos apenas um número 2, então o primeiro termo dessa PA é 1, como está explicito no problema, sendo que a razão é igual ao dobro do 1° termo da PA, nesse caso a razão é igual a 2. Que com esses dados nos possibilita agora saber quais são todos fatores primos desse número procurado. Que são 2x3x3x3x5x5x5x5x5=168750. Formando assim a uma PA finita de razão igual a 2 de acordo com a contagem dos fatores primos entre si [ 2, 333, 55555 ] PA={ 1, 3, 5 }. Quanto aos divisores desse número, vamos aplicar uma regra bem simples, já que conhecemos os seus fatores primos. Onde o número 1 representa cada fator destinto, com a soma de um número igual a sua repetição, em seguida efetuamos a multiplicação de toda essa adição. Vejam
( 1+ 1 ) x ( 1 +3 ) x ( 1 + 5 ) = 2 x 4 x 6 = 48 divisores
Portanto: O número é 168750 e possui 48 divisores
GANHADOR: GERALDO VIDAL ( PROF: ) PARABÉNS !!! Enviar para o Twitter
os fatores primos são 2 3 e 5
ResponderExcluircomo o primeiro fator eh 2 entaum a razão eh 4 ai os fatores vao ser
2 6 e 10 ai multiplicando eles para obter o número vai dar 120 ai para obter o numero de divisores eh igual ao produto dos indices somados com um :
2³ . 3¹. 5¹ entaum a multiplicação vai ser 4 . 2 .2 = 16 divisores positivos
ai multiplica por dois para obter os negativos tambem
dah 32 divisores
1-Como a soma dos fatores primos distintos é 10, então esses fatores são 2, 3 e 5.
ResponderExcluir2-Sendo um número par não divisível por 4, decompondo-o em fatores primos, o fator 2 não se repete pois, assim sendo, ele seria divisível por 4 (que = 2²)
3-Já que a contagem de todos os fatores entre si, formam uma PA finita de razão igual ao dobro do 1° termo dessa PA.
E baseado na observação 1, os fatores distintos formam 10 e os não distintos são bem mais, ou seja, o fator 3 e 5 se repetem, seguindo a PA,
a1 = 1 (o número de repetições do primeiro fator (2).(repete apenas uma vez))
r = 2 (razão da PA é o dobro de a1, ou seja, 2x1 = 2)
a2 = a1 + r = 1 + 2 = 3 (assim o segundo fator repete-se 3 vezes)
a3 = a1 + 2r = 1 + 4 = 5 (assim o terceiro fator repete-se 5 vezes)
Portanto,
o fator 2 repete-se uma vez
o fator 3 repete-se 3 vezes e
o fator 5 repete-se 5 vezes. Ficando portanto a decomposição dessa maneira:
2 x 3 x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 2^1 x 3^3 x 5^5 = 168.750
(obs.: 2^1 lê-se 2 elevado a 1)
Ele possui 2 x 4 x 6 divisores, ou seja, 48 divisores.
Obrigado por me dar a oportunidade de resolver um desafio tão bem elaborado quanto esse.
ResponderExcluirFico esperando pelo próximo.